Ví dụ về mô hình toán học Mô_hình_toán_học

  • Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số. Một mô hình đơn giản cho bài toán này là mô hình phát triển Malthus. Tuy nhiên, mô hình được ưa thích sử dụng lại là dùng hàm logit (logistic function).
  • Trong vật lý: Mô hình biểu diễn cho một hạt (phần tử) trong trường-điện thế (potential-field). Trong mô hình này, một phần tử được xem là một khối điểm m với quỹ đạo của nó được mô hình bởi hàm x: R → R3, với tọa độ của nó trong không gian là một hàm theo thời gian. Trường-điện thế được cho bởi hàm V:R3 → R và quỹ đạo là nghiệm của phương trình sai phân
m d 2 d t 2 x ( t ) = − grad ⁡ ( V ( x ( t ) ) . {\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)=-\operatorname {grad} \left(V(x(t)\right).} Chú ý mô hình này lấy giả thiết phần tử là một khối điểm, điều mà không đúng trong nhiều trường hợp, ví dụ: mô hình cho chuyển động của hành tinh.
  • Trong kinh tế: Mô hình mô tả hành vi (có lý trí) của một khách hàng. Khách hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là:
max U ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle \max U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} thỏa mãn: ∑ i = 1 n p i x i ≤ M . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M.} x i ≥ 0 ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;\forall i\in \{1,2,\ldots ,n\}} Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi.
  • Trong khoa học máy tính: các mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, mô hình toán trong đồ họa máy tính....
  • Trong điện tử: mô hình quang phổ, mô hình năng lượng,...
  • Trong cơ học cổ điển: mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm...